Многие помнят эту недавнюю историю: на президентских выборах 2000 года в США проигравший Альберт Гор набрал больше голосов избирателей, чем ставший в результате президентом Джордж Буш-младший. Но почему так произошло, на самом деле, мало кому понятно было. У нас-то всё, казалось, проще: голосовали либо «за/против» (понятно, что «за», но не об этом сейчас), либо «за кого-то одного» (обычно ещё добавлялась и возможность голосования «против всех») — ну а дальше большинством голосов и определялся выбор. Специалисты, понятно, знали, что в США чуть иная система, но остальному населению, как правило, было это не интересно. Вот до этих самых выборов 2000 года, когда выяснилось, что перевес в несколько сотен тысяч голосов избирателей — это не победа и что подобное в США не первый раз происходит.
На самом деле ситуация и для американцев сложилась нетривиальная. Месяц шли всякие пересчёты и суды, пока Верховный Суд не постановил (кстати, всего 5 голосами против 4) прекратить пересчёты и признать Джорджа Буша президентом. Наши комментаторы и аналитики попытались, было, объяснить народу, как всё это получилось, да, как я заметил, не сильно в том преуспели. Ну понятно, что выборы проходят в несколько этапов, но вот какие-то выборщики, бюллетени-бабочки... — в общем, у нас своих проблем навалом, чтобы ещё в чужие вникать.
А вместе с тем ещё лет за 30 до этих событий в советском журнале «Квант» (в самом первом номере) приводилась задачка чуждого, как тогда казалось, политического содержания. Можно было бы и про неё забыть, и про американский курьёз 2000 года, да вот регулярные реформы российского избирательного законодательства не позволяют этого сделать. Не все причины и следствия предлагаемых нам изменений выборных технологий понятны. Но давайте рассмотрим ту задачку — может, что-то и прояснится. Я не буду буквально цитировать журнал, изложу своими словами условие. Да и решение моё не претендует на оптимальность — без проблем можно в Сети найти оригинальную задачу и более короткие и, возможно, более понятные варианты решения. Главное — показать принцип.
Но традиционно начну с эпиграфа:
Сижу, не пью уже с утра, На завтра будут выборá. Я должен быть предельно трезв, Чтобы в графу поставить крест.© Кортнев А. А., «Выборы»
Задача. Итак, в некоей стране был Правитель. Каким образом он пришёл к власти, не важно. Важно, что он очень хотел эту власть сохранить. Дела в стране шли не самым лучшим образом. И не то, чтобы народ открыто возмущался, но уже достаточно громко роптал. Находились и баламуты, рвущиеся к власти. И хоть считали официально эту бузу происками иноземных агентов, спокойствия оно не добавляло. А времена уже не те, чтобы запросто можно было неугодных в длительную командировку на какие-нибудь бананозаготовки направить. В общем, как ни крутись, а надо свою легитимность доказывать. Т.е. провести выборы. Правитель, конечно, вправе определять схему выборов, распределять избирателей хоть поимённо по группам и округам, но он — и все — обязан признать: побеждает тот, за кого большинство. Ведь у нас демократия.
Вопрос: Можно ли Правителю остаться у власти по итогам выборов, если из
Решение с рассуждениями.
Голосующего за Правителя считаем сторонником, всех остальных — противниками. В рассуждении для краткости будем употреблять минимальное значение в выражении типа «необходимо, чтобы было столько», подразумевая «чтобы было не менее стольких» — если и будет больше, так всё на пользу. Наша победа — конечно, победа Правителя, поддержанного сторонниками народом.
Помним, что задача — математическая, потому отбрасываем всякие сомнительные предвыборные технологии, типа «чёрного» PR, несчастных случаев с другими кандидатами, самопровозглашение монархом, подтасовки протоколов счётных комиссий и прочее. Отказываемся от прямых одноэтапных выборов, осознавая, что не набрать необходимого большинства голосов. Думаем.
Принимаем во внимание, что большинство — это, например, 2 из 3, 3 из 4 или 5, или 5 из 8. Думаем.
Примерная схема многоэтапных выборов:
Например, всего 15 избирателей
Усложняем пример. Избирателей 200, три этапа. Разбиваем на 25 групп-первичек по 8 человек, от них получим 25 выборщиков, которых сгруппируем по 5 человек в 5 групп-вторичек. Выборщики из этих пяти групп-вторичек — назовём их старшими выборщиками — и определят результат. Необходимо для успеха, чтобы среди старших выборщиков было хотя бы три сторонника (3 из 5). Т.е. три группы-вторички должны содержать по 3 сторонника (остальные группы — только противников) — всего 9 сторонников (это выборщики от групп-первичек), т.е. в 9 группах-первичках должно быть по 5 сторонников. Итого 9 * 5 = 45 сторонников из 200 избирателей. Победу обеспечивают 45 / 200 = 22.5% избирателей. Меньше четверти!
Продолжаем арифметику. Из предыдущего примера видим, что победу делают:
в первичке (5 из 8), в группе выборщиков (3 из 5), в группе старших выборщиков (3 из 5).
Перемножая вторые числа в скобках получим общее число избирателей
Важно понять: нам не нужно выигрывать в большинстве первичек или в большинстве групп на каком-либо этапе, кроме предпоследнего. Нам надо создать систему, при которой на каждом этапе отбрасовались бы как меньшинство только голоса противника. И, конечно, рассчитать так, чтобы предпоследний этап дал таки больше выборщиков-сторонников для участия в последнем этапе. Мы оцениваем минимально необходимое число сторонников, учитывая, что по первичкам их распределяем сами и иерархию остальных этапов сами задаём. Если вдруг сторонников наших обнаружится больше, они только улучшат общую статистику, но, вообще-то, не повлияют на заранее рассчитанный положительный исход.
Возвращаемся к исходной задаче. Разложим на множители число избирателей:
20 000 000 = 2 * 107 = 28 * 57 = 4 * 82 * 57 ; это количество избирателей
Вот эти множители (4*8*8*57) и определяют численность групп на каждом этапе, а количество множителей — количество этапов (10 этапов). Посчитаем, сколько сторонников надо на каждом этапе для победы в группе: 3 из 4, 3 из 5, 5 из 8:
3 [из 4] * 5 [из 8]2 * 3 [из 5]7 = 3 * 52 * 37 = 164 025 ; это количество сторонников
И ещё раз: для победы на наших 10-этапных выборах достаточно иметь среди 20 миллионов избирателей 164 025 сторонников, т.е. чуть более 0.82%. А у нас их — целый процент, 200 тысяч. Да здравствует наш Правитель!
И кстати, нет необходимости проводить муторные 10-этапные выборы с непосредственным участием выборщиков на каждом этапе. В наш век развитых электронных средств связи, разумеется, максимально защищённых от какого-либо постороннего вмешательства, достаточно собрать протоколы голосования с первичек и приложить их к выстроенной нами заранее иерархии групп. Разумеется, всё делаем честно, никаких подтасовок. Так быстрее, дешевле, надёжнее.
Дмитрий Зайцев
24.02.2012
PS. Кстати, а среди скольких избирателей можно обеспечить победу, имея 200 тысяч сторонников?
Итого: выборы проводим в 6+5=11 этапов. Два сторонника победят в группе из трёх избирателей или выборщиков (шесть таких этапов), пять сторонников нужно для победы среди девяти избирателей или выборщиков (пять этапов).200 000 = 26 * 55 ; это количество сторонников
36 * 95 = 43 046 721 ; это количество избирателей
Т.е. с такой по численности и преданности армией мы можем победить на выборах и среди 43 миллионов избирателей.
Внимание: победу на выборах обеспечит поддержка менее половины процента избирателей
PPS. Кстати, а если довести до подобного «совершенства» избирательную систему России перед предстоящими выборами Президента (2012 год), какого количества сторонников хватит?
По данным ЦИК РФ
на 1 января 2012 года в России около
110 000 000 = 11 * 107 = 11 * 27 * 57 = 11 * 42 * 8 * 57 ; это количество избирателей
Считаем необходимое число сторонников:
6 [из 11] * 3 [из 4] 2 * 5 [из 8] * 3 [из 5] 7= 6 * 32 * 5 * 37 = 590 490 ; это количество сторонников
Итого: 600 тысяч сторонников (<0.54%) может быть достаточно для победы в России при «правильно организованном» многоэтапном (11 этапов в данном примере) избирательном процессе.
Для сравнения две цитаты:
Кстати, на Выборах-2008 наименьшее число голосов набрал
Кстати, при 120 миллионах избирателей достаточно даже меньше сторонников — 546 750. Но поиски оптимальных численностей групп и расстановок сторонников — суть уже игры для математиков. Мы здесь показали главное: и одного процента достаточно, чтобы управлять мнением большинства по вполне демократическому принципу, если его умело использовать.
PPPS. Дети! Учите математику! Учите логику, историю, родной язык, литературу. Даже добротное среднее образование советского образца позволит не задержаться лапше на ушах и пудре на мозгах. Жаль только, что и взрослые далеко не всегда этот простой вывод понимают...